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估算是一个范围，不是一个数
唐工：你估计完成开发用户登录模块要多少天？
小李：3天。
唐工：能在3天完成的可能性有多高？
小李：可能性很高。
唐工：可否量化一点?
小李：可能性为50%~60%。
唐工：所以很有可能不止3天，要4天了。
小李：对的，其实也有可能要5、6天，但我估计概率不大。
唐工：你信心有多少？
小李：难说，有95%的信心可以在6天之内完成。
唐工：所以有可能要用上7天了？
小李：这样说吧，如果所有可能出问题的都出了问题，甚至会10天或11天，但这种概率很低。
唐工再问小李：是能否给我一个确实能完成这个模块的日期？
小李：正如我前面说，很可能3天，但也有可能4天。
唐工追问：你可以说4天吗？
小李：也有可能5、6天。
唐工结束对话：OK，请你尽力6天之内完成这个模块。
唐工貌似请求，但实际是要求小李承诺这个模块要在6天之内开发完。假如这个模块的开发时间超过6天，唐工就有依据说小李没有尽力导致延误了。
所以从以上对话，可以看到作为开发专业人员，必须分清估算和承诺。作为专业人士，我们不应该给一些没有把握的承诺，误导对方。中国老话说“一诺千金”就是这个道理。
从单点到三点估算
上面是被单点估算误导的例子，误以为那个天数是有把握达成的，所以我们最好从单点估算变成三点估算，除了估算最可能的天数，还有最佳和最差共三点。但项目是由一系列的任务组成（如第二任务依赖于第一个任务的完成），如何计算所有任务的总天数？ 下面用例子说明如何用3种使用三点估算估计的方法(A、B、C)估算总天数：
A)假定都是正态分布，用模型估计：
先用PERT方程式计算每一步的预计值与标准差：
预计值 (Expected Value EV) = (Best + 4xMost Likely + Worst ) /6
标准差 (Sigma) = (Worst - Best) / 6
| 步骤Step | 最佳Best | 最可能Most Likely | 最差Worst | 预计值EV | 标准差Sigma |
| 1 | 1 | 3 | 12 | 4.167 | 1.833 |
| 2 | 1 | 1.5 | 14 | 3.5 | 2.167 |
| 3 | 3 | 6.25 | 11 | 6.5 | 1.333 |
| 10.75 | 14.168 |
如果假定是正态分布，按以上预计值和标准差，使用蒙特卡洛模拟，从下图可看到，95% 置信区间是8.02 ~ 20.37。
B)直接用PERT方程式计算总天数的均值与标准差：
如不用模拟，直接把3步的均值加起来：
4.2 + 3.5 + 3.6 = 14
计算3 步总方差：
(方差
假定：总方差 = 每步方差的总和
总方差= 9.77
Sigma 𝜎 = 3.13
95%范围计算公式为：均值的总和±2𝜎 = (4.2+3.5+6.5)±2𝑥3.13 = 14±6.26=7.74 ~ 20.26
结果与蒙特卡洛模拟预测类似。
C) 假定都是三角形分布，用模型估计：
如果用三角形分布，95%置信区间是 10.38 ~ 26.45。
总结 + 解读分析结果
- 如果假定每一步的分布都是一个正态分布，就可以用头两个方程式计算每一步的平均值跟标准差和方差，用方程式可计算3步的总均值大概是14。也可以用方程式计算标准差，总的标准差(sigma)是3.13左右。
- 也可用蒙特卡洛模型（假定步骤都是正态分布），得出很类似的正态分布，总的平均也接近14，95%置信区间是8.02 ~ 20.37，接近上面算出的均值 ± 两个标准差数值。
- 但因3个步骤都是明显往右偏，所以不能假设它们是正态分布，更合适的是使用三角形分布，然后用蒙特卡洛估算“加”起来的分布，看见最后的图明显是类似往右有个尾巴，能更正确反应3个步骤加起来的天数的估计分布。
- 跟假定正态分布的结果比较，很明显看到用三角形分布结果往右偏，上限是 26.45（比正态分布的20.37 高）。不是正态分布的话，左面就没有长尾巴，所以就会比本来正态分布的下限高，下限是 10.38（比正态分布的8高）。
- 从这简单例子看到，如果我们要把三点估算加起来，尤其是非正态分布的话，就不能用简单的方程式，或者假定它是正态分布来计算，需要用蒙特卡洛模型假设三角形分布才能真正反应总体的分布。
从这3个偏左分布步骤例子看起来好像有些偏差，但不是很严重。如果我们看见用10个步骤都是偏一边分布，总分布会如何？是否相差会更远？
利用蒙特卡洛模拟10个步骤（三角形分布）的总分布
如果每步都估算天数，10个步骤的总天数就是500天（把10个估算值加起来）。
但如果每个步骤都是三点估算：
| Process 过程 | 天数 | ||
| 步骤step | 最佳 | 最可能 | 最长 |
| 1 | 27 | 30 | 75 |
| 2 | 45 | 50 | 125 |
| 3 | 72 | 80 | 200 |
| 4 | 45 | 50 | 125 |
| 5 | 81 | 90 | 225 |
| 6 | 23 | 25 | 63 |
| 7 | 32 | 35 | 88 |
| 8 | 41 | 45 | 113 |
| 9 | 63 | 70 | 175 |
| 10 | 23 | 25 | 63 |
| 500 | |||
很明显看到每一步都是偏左的分布，所以可预计总天数应不止500天，但估多少才合适？
假定每步骤是三角形分布，用模型估计重复10,000次，得出下面分布：
得出95%区间是 617 ~ 865
| 过程Process | 天数Durations | ||||
| 步骤step | 最佳 | 最可能 | 最差 | 预计值 | 标准差 |
| 1 | 27 | 30 | 75 | 37 | 8 |
| 2 | 45 | 50 | 125 | 61.66 | 13.33 |
| 3 | 72 | 80 | 200 | 98.66 | 21.33 |
| 4 | 45 | 50 | 125 | 61.66 | 13.33 |
| 5 | 81 | 90 | 225 | 111 | 24 |
| 6 | 23 | 25 | 63 | 31 | 6.66 |
| 7 | 32 | 35 | 88 | 43.33 | 9.33 |
| 8 | 41 | 45 | 113 | 55.66 | 12 |
| 9 | 63 | 70 | 175 | 86.33 | 18.66 |
| 10 | 23 | 25 | 63 | 31 | 6.66 |
| 500 | 617.33 | ||||
A) 用PERT方程式计算每一步的预计值与标准差：
得出95% 区间是 525.3 ~ 709.3 (= 617.3 ± 92 )
B) 假定是正态分布，按以上预计值和标准差，使用蒙特卡洛模拟，得出的总分布的结果几乎一致，都是左右平均分布的正态形。
得出95%区间是 526 ~ 707
分析10 个步骤模拟结果
- 为什么用三角形分布模拟出来不是偏左的分布（类似前面3步结果），而是一个正态分布。
以上实验验证了“中心极限定理”，无论本来是什么形状的分布，如果随机抽样够多，样本的平均值分布接近正态分布。所以如果本来只是3个步骤的时候还是可以看出是三角形偏左，但到了用10个步骤相加时，得出的分布便非常接近正态分布。
(中心极限定理会在后面数据分析里用上，例如通过画控制图判断过程是否稳定)。
- 实验结果也验证了当每一步都类似正态分布可以用PERT公式计算每一步的预计值和标准差，然后计算总结果的分布（不需要蒙特卡洛模拟），但如果非正态分布（如偏左的三角形分布）便需要使用蒙特卡洛模拟，不然预估会有偏差(类似上面3步模拟的结果)。
问答 Q&A
问：为什么要花这么多精力去研究分布，我们日常不都是单点估算吗?
答：例如你觉得把整个公司的人均生产率从1.14一年后提升到1.21算不错吗？(注)
问：不是非常好，还算可以。
答：如果本来的分布和提升后的目标是如下图，你觉得怎么样？
问：提升就太微小了。
答：从这简单例子看到所有估算都应包含两部分：分布和中间趋势（例如平均值）。
另一例子：假如我们预估生产率是的分布是如下图，达到或超越1.14 这目标的概率是65%：
但如果告诉你目标是1.14只是目标平均值，分布是如下图：
预测生产率的分布完全在目标范围之内。
（ 注：生产率单位 每人天产出代码的功能点数，类似有效代码行数都是衡量软件规模的单位。）
在下一部分，我们会看到如何使用PERT三点估算的实例。
附件
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟
当结果不能用数学公式计算的时候（例如是三角形分布），可以用电脑随机模拟结果。例如：
- 计算3个步骤的总共人天，每个步骤的概率都是三角形分布，电脑随机功能模拟：
- 第一次模拟：步骤1得出1.3，步骤2得出1.2，步骤3得出2.0，得出3个步骤的总工期是4.5人天。
- 第二次模拟：步骤1得出1.5，步骤2得出1.15 ......。
- 如果我们模拟1000次、10000次，便能模拟出总分布。
- 因为是电脑随机模拟，出来的结果会有些偏差，但差异不会太大。（例如上面10步三角形分布的模拟结果偏差都没有低于0.3%）