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概念

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种统计方法，用于估计模型的参数，使得给定观测数据的似然函数达到最大。在最大似然估计中，我们寻找能够最大化观测数据的可能性（似然）的参数值。

假设我们有一组观测数据 x1, x2, …, xn，来自某个概率分布，且这个概率分布具有一些未知的参数 θ 需要估计。似然函数 L(θ) 表示在给定参数 θ 下观测数据出现的概率。我们的目标是找到能够最大化似然函数的参数值 θ，即：

θ^ = argmax L(θ)

通常，为了方便计算，我们计算对数似然函数 LL(θ) = log(L(θ))，然后寻找能够最大化对数似然函数的参数值。

具体步骤如下：

1确定参数化的概率分布以及参数的取值范围。

2编写似然函数或对数似然函数，根据数据和参数计算观测数据出现的概率。

3最大化对数似然函数，可以使用数值优化方法（如梯度下降、牛顿法等）来找到最优参数值。

4得到估计的参数值，它们是使得观测数据出现概率最大的参数。

代码实现

import numpy as np
from scipy.stats import norm
from scipy.optimize import minimize# 生成一组模拟观测数据
np.random.seed(42)
data = np.random.normal(5, 2, 100)# 定义对数似然函数
def log_likelihood(params, data):mu, sigma = paramsreturn -np.sum(norm.logpdf(data, mu, sigma))# 初始参数值
initial_params = [0, 1]# 最大化对数似然函数
result = minimize(lambda params: log_likelihood(params, data), initial_params)# 输出估计的参数值
estimated_mu, estimated_sigma = result.x
print("Estimated mu:", estimated_mu)
print("Estimated sigma:", estimated_sigma)