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偏最小二乘法（PLS）和正交偏最小二乘法（OPLS）是统计模型，用于寻找两组数据矩阵之间的关系。它们广泛应用于化学计量学、生物信息学、经济预测等领域。

偏最小二乘法（PLS）

偏最小二乘法是一种多变量分析方法，主要用于找到两组数据（通常是预测变量集和响应变量集）之间的线性关系。在PLS模型中，从预测变量的数据集中提取出几个主成分（潜变量），并尝试使这些潜变量尽可能多地解释响应变量的方差。这使得PLS特别适用于处理预测变量比观测多的情况，或者预测变量高度相关（多重共线性）的情况。

正交偏最小二乘法（OPLS）

正交偏最小二乘法是PLS的一个变体，它增加了一个正交滤波器，用于去除预测变量和响应变量之间不相关的变异。OPLS的关键优势在于它能够区分预测变量中与响应变量相关和不相关的变异。通过这种分离，OPLS可以提供更清晰的模型，使解释和分析结果变得更加简单。

为什么要用正交偏最小二乘法

OPLS的使用有几个理由：

1. 简化模型解释：通过分离相关和不相关的变异，OPLS简化了结果的解释。在PLS中，所有的主成分都是预测和响应变量的混合，而在OPLS中，可以直接关注与响应变量相关的成分。
2. 改进模型性能：在某些情况下，通过去除不相关的变异，OPLS可以提高预测性能。
3. 可视化和分析：OPLS模型可以更清晰地展示哪些变量是重要的，哪些变量与特定的响应没有关联，从而简化了后续的数据分析工作。

总之，PLS和OPLS都是处理复杂数据集的有力工具，它们可以揭示变量之间的内在关系。OPLS在PLS的基础上提供了额外的优势，特别是在模型解释和结果清晰性方面。

预测变量比观测多是什么意思？

预测变量比观测多，这是指在一个数据集中，特征的数量（也就是预测变量或自变量的数量）超过了样本的数量。这种情况常见于高通量数据分析，如基因表达数据分析、代谢组学或者某些类型的图像分析，在这些领域，可能会对成千上万的特征进行测量，而样本数量相对较少。

例如，如果你在一个生物医学研究中从100个病人中收集了数据，并且每个病人有20,000个基因表达水平的测量值，那么你有20,000个预测变量（基因）和100个观测（病人）。在这种情况下，传统的统计方法如多元线性回归就不再适用，因为它们通常要求观测的数量至少要与变量的数量相等或更多，以避免过拟合和模型不稳定。

在这种“高维”数据环境中，偏最小二乘法（PLS）和正交偏最小二乘法（OPLS）等方法就显得非常有用，因为它们通过提取主要信息（潜变量）来降低数据的维度，并允许我们构建一个更加稳健的模型来进行预测或分类。这些方法在提取重要特征方面非常有效，并且可以处理那些具有大量预测变量的复杂数据集。

OPLS-DA的正交滤波器的原理

OPLS-DA（正交偏最小二乘判别分析）是一种用于监督式维度降低的统计方法，它在OPLS的基础上进行了扩展，专门用于分类和判别分析。OPLS-DA的核心是引入了正交滤波器来区分变量中与响应变量相关和不相关的信息。以下是其工作原理的详细解释：

1. 数据分解

在OPLS-DA模型中，预测变量矩阵（X）被分解为两个部分：与响应变量（Y）相关的系统变异（预测成分）和与响应变量无关的系统变异（正交成分）。数学上，这可以表示为：

$X=T_p{P}_p^T+T_o{P}_o^T+E$

其中：

• $T_p$ 是与响应相关的得分矩阵（预测成分）。
• P p T P_p^T