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1. 前言🚩

前面我们学的都是链式结构或数组这种线性结构,今天我们正式开始学习"树"这个结构.树涉及的问题有很多,包括普通树,二叉树,二叉树又分完全二叉树和非完全二叉树,而我们要掌握的结构"堆"其本质就是一种完全二叉树, 所以在开始讲堆之前,我们应该先了解一些树相关的知识

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2. 树的概念以及结构🚩

2.1 树的概念🏁

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的.

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点.

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• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

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• 树是递归定义的。

平平无奇的一棵树:

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注意,子树之间是不能又交集的,否则就不能称为树结构:

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2.2 树的相关概念🏁

有一些专有名词需要我们了解,我这里给出一个图方便理解:
 
 

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

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• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

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• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

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• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

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• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

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• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

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• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

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• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

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• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

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• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

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• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

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• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

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这里我将常见的并且用的比较多的概念换了一个颜色

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2.3 树的表示(代码实现)🏁

表示树形结构有很多种方式,比如:

• 方法一:提前知道树的度数为N

struct TreeNode
{int data;struct TreeNode* subs[N];//存储此节点的孩子,最多有N个孩子
}

这里前提我们知道树的度,也就是一个节点最大的孩子树,我们可以设计一个结构体,里面存储当前节点要存储的值,并且在结构体中定义一个结构体数组来存储此节点的孩子.

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这里表示树的结构的方式有很多,我就不做一一介绍,接下来介绍一个最屌的结构也是最常用的结构:左孩子右兄弟法!
我们用这个树来举个例子:

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* NextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType data; // 结点中的数据域
}

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这种结构属于是牛人才能想出来!这里我们画图理解一下:

这样我们就可以依次把所有节点都遍历一遍了

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3. 二叉树的概念以及结构🚩

 
 
数中这么复杂的结构,最常用的还是二叉树,这里就引出二叉树的概念
 
 

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3.1 二叉树概念🏁

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
    

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
    

3. 二叉树不存在度大于2的结点
    

4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
    
   注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：(这些情况以及这些情况的组合情况都称为二叉树)

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有人说可以用下面这张图辨别一个人是不是程序员,如果他看见图的第一眼想到的是:这不就是个满二叉树嘛,那么他大概率是程序员!
 
 
 

3.2 特殊的二叉树🏁

• 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
  说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

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• 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
  的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
  应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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3.3 二叉树的性质🏁

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n₀ , 度为2的分支结点个数为n₂ ,则有 n₀＝n₂ ＋1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log₂(n+1) .

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

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因为这一章节是全新的内容,所以定义和性质很多,请大家要耐心阅读!

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3.4 二叉树的存储结构🏁

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构:

1. 顺序存储
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
   间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
   序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

这里非完全二叉树存储在顺序结构中时,数组中有空元素,而完全二叉树存储时没有空元素

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2. 链式存储
   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
   链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
   在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
   学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

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我们可以发现,非完全二叉树不适合用数组的方式来存储,然而我们的完全二叉树(包括满二叉树)就非常适合用数组的形式存储,因为它的物理存储结构是连续的,不会在数组中留空格

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4. 总结🚩

. 这篇文章主要带大家了解一下树的相关知识,为我们后面学习二叉树和堆打好基础,其实堆的本质就是一颗完全二叉树,所以我们实现堆时就是用数组的结构来实现的,而我们的非完全二叉树即用链式结构来实现的.这些内容我下一篇文章为大家讲解

 
 
 

🔎 下期预告:堆详解以及topk问题 🔍

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