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数学

质因数分解

 int reduce(int prime[],int pn,int n,int rest[]){int i,k=0;for(i=0;i<pn;i++){if (n==1) break;if (prime[i]*prime[i]>n) {rest[k++]=n;break;}while(n%prime[i]==0){n/=prime[i];rest[k++]=prime[i];}}return k;}

解析：
这段代码是一个名为reduce的函数，它接受四个参数：一个整数数组prime[]，一个整数pn表示数组的长度，一个整数n和一个整数数组rest[]。函数的目的是将整数n分解为质因数，并将这些质因数存储在rest[]数组中。

函数首先初始化两个变量i和k，其中i用于循环遍历prime[]数组，k用于记录rest[]数组的索引。

接下来，函数使用一个for循环遍历prime[]数组。在每次迭代中，它首先检查n是否等于1，如果是，则跳出循环。然后，它检查当前质数的平方是否大于n，如果是，则将n添加到rest[]数组中，并跳出循环。

如果当前质数的平方不大于n，则进入一个while循环。在这个循环中，只要n能被当前质数整除，就将n除以当前质数，并将当前质数添加到rest[]数组中。这个过程会一直重复，直到n不能被当前质数整除为止。

最后，函数返回k，即rest[]数组中的元素个数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int n,i;cin>>n;cout<<n<<"=";for(i=2;i<=n;i++){while(n!=i){if(n%i==0){cout<<i<<"*";n=n/i;}elsebreak;}}cout<<n<<endl;return 0;
}

辗转相除法求最大公约数

inline int gcd(int a,int b)
{if(a%b==0)return b;elsereturn (gcd(b,a%b));
}

• 简单写法：

int gcb(int a,int b){return b==0 ? a:gcb(b,a%b);}

最小公倍数：

int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;//防溢出 ， 很妙啊 ，大家可以记一下
}

快速幂

• 模板

int qmi(int a,int b,int p)//对p取模
{int res=1;while(b)//只要b不为0，就一直迭代下去 {if(b&1)res=res*a%p;//b为奇数，乘一个a到答案里a=a*a%p,b>>=1;//底数平方，指数除以2 }return res; } 

• 例题：数的幂次–1181

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;using ll =long long;ll qmi(ll a,ll b,ll p)//对p取模
{ll res=1;while(b)//只要b不为0，就一直迭代下去 {if(b&1)res=res*a%p;//b为奇数，乘一个a到答案里a=(ll)a*a%p,b>>=1;//底数平方，指数除以2 }return res; } int main(){int t;cin>>t;while(t--){ll n,m,p;cin>>n>>m>>p;cout<<qmi(n,m,p)<<endl;}return 0;}

乘法逆元

费马小定理

逆元

乘法逆元

• 例题1：求乘法逆元

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
int t,n;
ll p=1e9+7;
ll qsm(ll a,ll b)
{ll res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}return res%p;
}
ll inv(ll x)
{return qsm(x,p-2);
}
int main()
{cin>>t;while(t--){cin>>n;cout<<inv(n)<<endl;}return 0;
}

• 例题2：获胜的概率–3932

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=1e9+7;
ll kmi(ll a,ll b)
{ll res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}return res%p;}
int main()
{ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);ll n,k;cin>>n>>k;if(k==0){cout<<1<<endl;for(int i=2;i<=n;i++) cout<<0<<endl;}else if(k&1){for(int i=1;i<=n;i++){if(i&1) cout<<0<<endl;else cout<<kmi(n/2,p-2)<<endl;}}else{for(int i=1;i<=n;i++){if(i&1) cout<<kmi((n+1)/2,p-2)<<endl;else cout<<0<<endl;}}return 0;}

素数判定与埃式筛法

朴素素数判定法

• 例题：疑似素数-3334

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//求和
int f(int x)
{int res=0;while(x)res+=x%10,x/=10;return res;} 
bool isPrime(int n)
{if(n<2)return false;for(int i=2;i<=n/i;i++){if(n%i==0)return false;}return true;}
int main()
{int n;cin>>n;int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(isPrime(f(i)))ans++;}cout<<ans<<endl;
}

埃式筛法

bool vis[N];
vis[0]=vis[1]=true;//被筛掉了
for(int i=2;i<=n;i++)
{if(!vis[i])//如果i没有被筛掉，那么进行枚举for(int j=2*i;j<=n;j+=i)//枚举倍数 ,每次j变成i的倍数vis[j]=ture; } 

• 例题2：小明的素数对–3205

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7;
bool shai[N];vector<int> vec;//将素数筛中杂乱的质数变成排列有序的一个集合，用vector
int main()
{ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);int n,ans=0;cin>>n;shai[0]=shai[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!shai[i]){vec.push_back(i);for(int j=2*i;j<=n;j+=i) shai[j]=1;}}for(int i=0;i<vec.size();i++)for(int j=i+1;j<vec.size();j++){if(!shai[vec[j]-vec[i]]) ans++;}cout<<ans;return 0;}

图论

并查集T3:真题–合根植物

• 并查集模版题：
• 注意：不要调用string库。
• 什么是并查集：处理不相交集合的合并问题。
• 用途：求连通子图，求最小生成树的Kruskal算法和求最近公共祖先等。
• 操作：

  • 初始化：
    

  • 查询与合并：
    

  • 查询时对路径进行压缩：
    

  • 例题
    

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
// 开始的时候定义数组 
#define MAXN 20001
int fa[MAXN];
//最好不要这样定义// 初始化
void init(int n)
{for(int i=0;i<=n;i++)fa[i]=i;} 
// 查询 int find(int x){
//         递归出口if(x==fa[x])return x;else{fa[x]==find(fa[x]);return fa[x];}}
// 合并
void unionn(int i,int j)
{int i_fa=find(i);// 找到i的祖先 int j_fa=find(j);// 找到j的祖先 fa[i_fa]=j_fa ;//i的祖先指向j的祖先 }  
// 写主函数
int main()
{int m,n,x,y,q;scanf("%d",&n);init(n);// 初始化这个数组scanf("%d",&m); //有m行for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&x,&y);unionn(x,y);} scanf("%d",&q);// 输入q行 for(int i=1;i<=q;i++){scanf("%d%d",&x,&y);if(find(x)==find(y))printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}return 0;         } 

• 合根植物题解：这道题只有一个返回值，所以查询的时候注意不要增加一个返回值了。

#include<stdio.h>
int fa[1000005];
//初始化void init(int n){for (int i=1;i<=n;i++)fa[i] = i;}// 查询
int find(int x)
{if (fa[x] != x){int sx = find(fa[x]);fa[x] = sx;}return fa[x];
}// 合并void unionn(int i,int j){int i_fa=find(i);int j_fa=find(j);fa[i_fa]=j_fa;} 
int main(void)
{int m,n,q;scanf("%d%d%d",&m,&n,&q);init(m*n); int x,y;for(int i=0;i<q;i++){scanf("%d%d",&x,&y);unionn(x,y);}//计数器的设置int ans=0;for(int i=1;i<=m*n;i++){if(i==fa[i]){//一个数等于链条的祖先ans++; } }printf("%d\n",ans);return 0;
}

Dijkstra

Floyd

基础算法

递归，循环，前缀和，差分

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STL

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