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abstract

• 平面直线的参数方程的3种表示形式
• 直线参数方程间的转换

直线参数方程

• 以下从不同角度推导直线参数方程
• 分别记为第1,2,3形式参数方程

从运动轨迹的角度

• 直线可以看作是质点匀速运动的曲线
• 设质点从$M_0(x_0,y_0)$出发,沿着与$x$轴成$\alpha$角的方向作匀速直线运动,其速录为$v_0$,把速度再$x,y$轴上分解,大小分别为$v_x=v_0\cos \alpha$,$v_y=v_0\sin \alpha$
• 设$M(x,y)$为$t$时刻质点所在位置,则如下参数方程组(1)$(t⩾0)$
  • $x=x_0+v_{x}t=x_0+t{v}_0\cos \alpha$;
  • $y=y_0+v_{y}t=y_0+t{v}_0\sin \alpha$;
• 若不考虑物理意义,取参数$t\in (-\infty ,+\infty )$,方程组(1)就是直线的一种参数方程,参数为$t$

从普通方程转换导参数方程

• 设直线的点斜式方程为$y-y_0=k(x-x_0)$
  • 其中$k=\tan \alpha$,$\alpha$为直线的倾斜角($\alpha \in [0,\pi )$);
  • 则$y-y_0=\tan \alpha (x-x_0)$=$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(x-x_0)$,$(\alpha \ne \frac{\pi }{2})$
  • 即$\frac{x-x_0}{\cos \alpha }$=$\frac{y-y_0}{\sin \alpha }$,令其比值为参数$t$,即有
    • $x-x_0=t\cos \alpha$,$y-y_0$=$t\sin \alpha$
    • 这里的参数$t$有明显的几何意义:$|t|$表示直线上的任一点$M$到定点$M_0$的距离
  • 整理:得方程组(2)参数$t\in \mathbb{R}$,
    • $x=x_0+t\cos \alpha$;
    • $y=y_0+t\sin \alpha$

向量法

• 设直线过点$M_0(x_0,y_0)$,且与平面向量$\mathbf{a}=(l,m)$平行$(l,m\ne 0)$,

• 在直线上任取点$M(x,y)$,则向量$\overrightarrow{M_{0}M}//\mathbf{a}$,$\overrightarrow{M_{0}M}$=$(x-x_0,y-y_0)$

• 两向量平行的充要条件是$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}$,记该比值式比值为$t$,

• 整理得方程组(3)

  • $x=x_0+lt$,
  • $y=y_0+mt$,
  • 参数$t\in \mathbb{R}$

参数方程间的转换

从第3型转化为第2型方程组

• 方法1:

  • 设(3)转换的第2型方程组为

    • $x=x_0+u\cos \alpha$
    • $y=y_0+u\sin \alpha$

  • 和(3)比较可知,$u\cos \alpha =lt$;$u\sin \alpha =mt$,则$\tan \alpha =\frac{m}{l}$

  • 只要求出$\cos \alpha$,$\sin \alpha$关于$l,m$的表示式即可:

    • $\cos \alpha$=$\pm \frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}}$

    • $\sin \alpha =\pm \frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}}$

    • 根据$\alpha$的来取定两个式子的符号:

    • $\cos \alpha =\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}}$

    • $\sin \alpha =\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}}$

• 方法2:

  • 由于2型方程中的$\alpha$是直线的倾斜角,因此,根据直线某个同向方向向量$(l,m)$可得
  • $l_1$:$\cos \alpha =\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}}$;$\sin \alpha =\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}}$
  • $l_2$:$\cos \alpha =-\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}}$;$\sin \alpha =-\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}}$
  • 两组都可以:验证:
    • $l_1$:$x=x_0+t\cos \alpha$;$y=y_0+t\sin \alpha$
    • $l_2$:$x=x_0-t\cos \alpha$;$y=y_0-t\sin \alpha$
    • 当$t=1$时$(x_0+\cos \alpha ,y_0+\sin \alpha )$和$t=-1$时$(x_0-\cos \alpha ,y_0-\sin \alpha )$都同时在$l_1,l_2$上,说明$l_1,l_2$是同一条直线
    • 或者分别将$l_1$,$l_2$化为普通方程,可得相同的直角坐标方程:$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\tan \alpha$

例

• 设直线$x=5+3t$;$y=10-4t$;将其表示为第2形式参数方程

• 从第3型转化为第2型:

  • $\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2}}$=$\frac{3}{5}$;$\sin \alpha$=$\frac{-4}{\sqrt{3^2+4^2}}$=$-\frac{4}{5}$
  • 另一组取值$\cos \alpha =-\frac{3}{5}$,$\sin \alpha =\frac{4}{5}$也可以
  • 两组取值都有($\tan \alpha =-\frac{4}{3}$)
  • 所以
    • $x=5+\frac{3}{5}u$;$y=10-\frac{4}{5}u$
    • $x=5-\frac{3}{5}u$;$y=10+\frac{4}{5}u$