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2013年第二届数学建模国际赛小美赛
B题 寄居蟹进化出人类的就业模式
原题再现：
寄居蟹是美国最受欢迎的宠物品种，依靠其他动物的壳来保护。剥去寄居蟹的壳，你会看到它柔软、粉红色的腹部卷曲在头状的蕨类叶子后面。大多数寄居蟹喜欢蜗牛壳，虽然有些用双壳类的壳，如蛤蜊和扇贝，还有一些用浮木，石头和玻璃或塑料瓶。
当一只孤独的螃蟹遇到一个漂亮的新贝壳时，它立即用它的腿和触角检查了这个庇护所，然后冲出它现在的家去试新庇护所的大小。如果新的贝壳很合适，螃蟹就会认领它。典型的寄居蟹行为。但是如果新发现的壳太大，螃蟹并没有失望地逃走，而是在15分钟到8小时的时间里等待着它的发现。这是不寻常的。最后，其他的螃蟹出现了，每个螃蟹都在试壳。如果贝壳对新来者来说也太大，他们也会四处游荡，有时会组成20多人的团体。然而，螃蟹并不是随机聚集在一起的。相反，它们在一条从最大到最小的康加蛇线上互相夹住——生物学家称这种行为为“背驮”。一只螃蟹刚找到新家，所有排队的螃蟹就按顺序迅速交换贝壳。队伍前面最大的螃蟹抓住了螃蟹被遗弃的壳。第二大螃蟹偷偷地钻进了第一大螃蟹的旧壳里。依此类推。寄居蟹真的需要考虑和评估这些贝壳资源——这些是生死攸关的决定，从这个角度来看它们很有趣。它们比普通螃蟹聪明。
社会学家和经济学家使用“空缺链”一词来描述资源的有序交换，使序列中的每一个人受益。空缺链是一种很好的资源分配方式：与更典型的竞争不同，单个空缺链有利于参与的每个人，每个人都可以升级。因此，寄居蟹进化出复杂的社会行为来充分利用空缺链是有道理的。研究这些动物的行为可以帮助我们改善我们如何分配资源，例如公寓、汽车和工作。
模型的目标
1、发展社会策略，在队列中交换工作，让每个人都受益。我们能把它们应用到所有行业吗？如果没有，需要满足哪些条件？
现在一个新的人力资源网站想采纳你的想法，有多少求职者需要同时满足雇主和雇员。运行您的模型，预测未来五年内某些企业客户的人力资源支出变化。
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整体求解过程概述(摘要)
卢梭曾经说过，人生来就是自由的，他到处都被枷锁着。然而，它并不是在传播悲观的世界观。相反，只有通过人与人之间的互动，我们的社会才能取得进步。
就像寄居蟹会聚在一起交换贝壳，这样每个人都可以得到一个更大的家。我们人类社会也存在类似的现象，称之为空缺链。然而，在人与人之间分配贝壳是一项相对容易的工作，如何在人与人之间交换贝壳是一个相当困难的问题。
为了解决上述问题。本文总结了三个子问题及其解决方法：1）找出空缺链所需满足的条件，使空缺链成为每个人都能受益的优化工具。2） 建立一个模型来评估一个人的能力，并提出一个算法作为社会策略来交换空缺链中的工作，使每个人都受益。3） 建立一个不等式来回答需要多少工作申请才能同时满足雇主和雇员，并运行我们的模型来预测未来5年内一些企业客户的人力资源支出的变化。
在第一个子问题中，我们讨论了不同组织层级对空缺链的不同影响。结果表明，中层管理者较少的层级组织形式最有可能受到空缺链的调控。幸运的是，大多数企业的组织形式与之相似，也就是说，空缺链可以适用于大多数情况。其次，在第二个子问题中，我们提出了一个线性方程作为评价函数，并得到每个人的综合得分，这代表了一个人的能力。然后，基于总体得分，采用贪心算法对空缺链中的人员进行职位交换。人的素质将与工作要求相适应。在这种情况下，每个人都会得到最合适的工作。最后，在第三个子问题中，由于空缺链也有其成本，如更换成本和培训成本。我们不会让总成本超过它的好处。因此，我们将提出一个需要满足的不等式，以便成本不会超过收益。也就是说，我们将计算出在某些情况下，有多少求职者需要同时满足雇员和雇主的要求。最后，我们将使用我们的模型来显示未来五年内一些企业客户的人力资源支出的变化。
在整个建模过程中，充分考虑了模型的有效性、可行性和成本效益。
模型假设：
•我们假设组织形式类似于前一节中的模型4。
•我们假设工作要求、员工能力以及工作带来的福利都可以量化。
•我们假设相对较低阶层的人会服从较高阶层的安排。
•我们认为初始安排是合理的。也就是说，工作和从事这个工作的人是相容的。在要求高、福利高的企业中，高能力的人会有较高的地位。
问题重述：
空位链的概念来源于对寄居蟹种群中一种现象的科学观察。随着寄居蟹体形的增长，它必须找到一个更大的壳，并抛弃上一个壳。一些寄居蟹物种，包括陆地和海洋，利用空位链寻找新的壳：当一个新的，更大的壳变得可用时，寄居蟹聚集在它周围，形成一种从大到小的队列。当最大的螃蟹进入新壳时，第二大的螃蟹进入新空出的壳，从而使第三只螃蟹可以得到它以前的壳，依此类推。自从这一生物学发现以来，空位链这个术语被赋予了更多的含义。
目前，空缺链是一种将资源分配给消费者的社会结构。在空缺链中，到达总体的新资源单元由第一个在行的个体获取，然后该个体将其旧单元留在后面，该旧单元由第二个个体获取，将其旧单元留在后面，依此类推。通常，当出现空缺时，填补职位的大部分人来自内部劳动力市场，而不是雇用新人。被调动或提升到新工作或职位的个人通常会获得更高的工资和更多的福利，这对组织有重要影响。
本文提出了一个以雇主和雇员利益最大化为目标的职位空缺链模型，并利用该模型预测了部分企业的工作变动。我们总结了本文要解决的三个子问题。
讨论了空缺链何时可以作为优化员工岗位分配的工具，以及需要满足哪些条件才能发挥空缺链的作用。
建立了一个计算员工胜任力的模型，该模型可用于在空缺链发生时安排员工，并开发了一个使每个员工受益的职位分配算法。
讨论有多少求职者需要同时满足雇主和雇员，并运行我们的模型来预测未来5年内一些企业客户的人力资源支出的变化。在整个建模过程中，充分考虑了模型的有效性、可行性和成本效益。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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部分程序代码：(代码和文档not free)
clear all
K=[];
% We need to input rxr matrix K and K
is the number of different levels of work
%
[r,r]=size(K);
% r is rows or columns of matrix K
%
N=[];
% We need to input rxr matrix N and N
is different levels of total vacant job at
present
%
I=eye(3);
% I is rxr unit matrix
%
P=K./N;
% P is different levels of transition
probability matrix of vacant job
%
for i=1:r
q(1,i)=sum(P(i,:));
end
% q is the probability of vacant jobs
%
clear i
M=inv(I-P);
for i=1:r
m(1,i)=sum(M(i,:));
end
% m is the matrix of the length of
markov chain
%
Average_m=sum(m)./r;
% Average_m is the average length of
markov chain of vacant job
P(i,i)=1;
%
%
R1=[2 0 5 12 0];
% R1 is the number of people who need
to recommend in the first year in the
future
%
R2=[4 3 7 18 0];
% R2 is the number of people who need
to recommend in the second year in the
future
%
R3=[3 4 6 18 0];
% R3 is the number of people who need
to recommend in the thrid year in the
future
%
R4=[5 2 7 17 0];
% R4 is the number of people who need
to recommend in the fourth year in the
future
%
R5=[3 5 5 18 0];
% R5 is the number of people who need
to recommend in the fifth year in the
future
%
%
N1=N*P+R1;
N2=N1*P+R2;
N3=N2*P+R3;
N4=N3*P+R4;
N5=N4*P+R5;
% N1, N2, N3 and N4 ,and N5
respectively is the number of all kinds
of personnel supply during the next five
years.