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循环不变式（Loop Invariant） 是算法设计和程序验证中的一个核心概念，用于证明循环的正确性。它是在循环的每次迭代开始和结束时均保持为真的一种条件或性质，帮助开发者确保循环按预期工作，最终达到目标状态。
循环不变式的核心作用
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设计循环：指导循环逻辑的构建。
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验证正确性：证明循环确实能达到预期目标。
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调试代码：通过检查不变式是否始终成立，定位逻辑错误。
循环不变式的三个验证阶段
要证明循环的正确性，必须验证以下三点：
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初始化（Initialization）
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循环开始前，不变式必须成立。
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例如：在排序算法中，初始时“已排序部分为空”。
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保持（Maintenance）
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每次迭代后，不变式仍成立。
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例如：插入排序中，每次插入一个元素后，“已处理部分仍然有序”。
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终止（Termination）
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循环结束时，不变式能推导出算法的目标。
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例如：循环结束后，“整个数组有序”。
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经典示例
1. 插入排序的循环不变式
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不变式：每次循环后，前
i个元素是局部有序的。 -
验证：
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初始化：
i=1时，前1个元素显然有序。 -
保持：每次将第
i个元素插入到前i-1个有序元素中的正确位置，保持局部有序。 -
终止：当
i=n时，整个数组有序。
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2. 二分查找的循环不变式
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不变式：若目标元素存在，则它一定在当前搜索范围
[low, high]内。 -
验证：
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初始化：整个数组
[0, n-1]包含目标（如果存在）。 -
保持：每次比较中间元素后，调整
low或high，确保目标仍在范围内。 -
终止：当
low > high时，可确定目标是否存在。
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循环不变式 vs 数学归纳法
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相似性：
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初始化 ↔ 归纳基础（证明初始状态成立）。
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保持 ↔ 归纳步骤（假设第
k步成立，证明第k+1步也成立）。 -
终止 ↔ 结论（最终目标达成）。
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区别：循环不变式关注有限次迭代，而数学归纳法通常用于无限过程。
如何构造循环不变式？
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明确循环目标：循环结束时需要达到什么状态？
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定义中间状态：在循环过程中，哪些性质始终为真？
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结合变量关系：用循环变量描述不变式中的条件。
实际应用场景
| 场景 | 循环不变式的作用 |
|---|---|
| 排序算法 | 保证每次迭代后部分数据有序 |
| 查找算法 | 确保搜索范围始终包含目标（若存在） |
| 动态规划 | 维护子问题的最优解性质 |
| 图遍历（BFS/DFS） | 跟踪已访问节点和待处理节点的关系 |
总结
循环不变式是算法正确性的“守护者”，通过形式化验证确保循环逻辑严密无漏洞。它在复杂算法（如快速排序、Dijkstra最短路径）的证明中尤为重要，是程序员和算法工程师的必备工具。