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高斯

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，（德语：Johann Carl Friedrich Gauß，英语：Gauss，拉丁语：Carolus Fridericus Gauss）1777年4月30日–1855年2月23日，德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家、大地测量学家， 毕业于Carolinum学院（现布伦瑞克工业大学），后进入哥廷根大学深造 。
高斯被认为是世界上最重要的数学家，享有“数学王子”的美誉。高斯分布、高斯曲率、高斯测度、高斯散度定理、高斯-博内定理等等都是根据他的命名的。高斯是一位著名的数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家，在数学方面的成就尤为突出。他是德国人，全名约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，人们尊称他为"数学王子"。
高斯处事井井有条，即使对一些文件做摘录，也总是十分整洁，有条不紊。他有许多小笔记本，一行一行工整地记着临时想到的事。他记下从哥廷根天文台到各个地方的步行步数。他记下各年发生雷电的日期和次数。他记下汉诺威铁路每月的收入。他记下自己的孩子们的出生日期、接种牛痘的日子、长出前8颗牙齿的日子、开始走路的日子并注明当时孩子多大(按天计算)。可见，高斯在生活、工作中是多么严肃认真、一丝不苟。

高斯函数

高斯函数（Gaussian function）是以高斯的名字命名的函数，广泛用于自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域。高斯函数的形式为：
$$f(x)=a{\mathrm{e}}^{-\frac{-(x-b{)}^2}{2c^2}}$$
其中，$a$、$b$与$c$都是实数，且$a>0$。
当$a=1,b=1,c=1$时曲线如下：

图1 高斯函数

当$a=1,b=2,c=3$时曲线如下：

图2 高斯函数

可以看到$a$表示曲线的高度，$b$决定了峰值的位置，也就是对称轴的位置，$c$决定了曲线的胖瘦，当$c$越大的时候，曲线越胖。

归一化高斯函数

对高斯函数进行积分，有
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$
同理可得：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }a{\mathrm{e}}^{-\frac{-(x-b)}{2c^2}}dx=ac\sqrt{2\pi }$$
因此，当且仅当$a=\frac{1}{c\sqrt{2\pi }}$的时候，高斯函数的积分为1，在这种情况下，它是正态分布随机变量的概率密度函数，期望值$\mu =b$，方差${\sigma }^2=c^2$，此时
$$g(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{-(x-\mu )}{2{\sigma }^2}}$$

不同方差的标准正态分布曲线为

图3 不同方差的正态分布

matlab函数

编写的函数入下

function [y] = Gaussian(x,mu,sigma)
y = 1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-mu).^2/(2*sigma^2));
end

绘制过程入下：

% 画高斯函数图像
x = -10:0.1:10
y0 = Gaussian(x,0,0.2);
y1 = Gaussian(x,0,0.4);
y2 = Gaussian(x,0,0.8);
y3 = Gaussian(x,0,1);
plot(x,y0,'r');
hold on;
plot(x,y1,'b');
hold on;
plot(x,y2,'c');
hold on;
plot(x,y3,'g');
legend('sigma=0.2','sigma=0.4','sigma=0.8','sigma=1');

当然也可以使用matlab内置的函数绘制标准正态分布：

y = normpdf(x,mu,sigma) 返回具有均值 mu 和标准差 sigma 的正态分布的 pdf，在 x 中的值处计算函数值。

代码入下：

x = -10:0.1:10;
mu = 1;
sigma = 2;
y = normpdf(x,mu,sigma);
figure;
plot(x,y);