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微积分中的一个最简单的最优化例子

问题描述

假设你有一条长度为 10 米的栅栏，你需要围成一个矩形的鸡舍，使得围成的面积最大。求这个矩形的长和宽应是多少，以使得面积最大。

步骤

1. 设定变量：

   • 设矩形的长为 $x$ 米，宽为 $y$ 米。
   • 因为总栅栏长度是 10 米，所以有约束条件 $2x+2y=10$，简化为 $x+y=5$。

2. 表达目标函数：

   • 目标是最大化矩形的面积 $A$，即 $A=x\times y$。
   • 利用约束条件 $y=5-x$ 代入面积公式中：
     $$A=x\times (5-x)=5x-x^2$$

3. 求导并找到极值：

   • 对面积函数 $A(x)=5x-x^2$ 求导，得到：
     $$\frac{dA}{dx}=5-2x$$
   • 令导数等于 0 求解 $x$：
     $$5-2x=0⟹x=2.5$$

4. 确定极值性质：

   • 二次导数 $\frac{d^{2}A}{d{x}^2}=-2$，它小于 0，说明 $A(x)$ 在 $x=2.5$ 处取得最大值。

5. 求解最优解：

   • 对应的宽 $y=5-2.5=2.5$ 米。
   • 最大面积为 $A=2.5\times 2.5=6.25$ 平方米。

结论

当矩形的长和宽均为 2.5 米时，围成的面积最大，最大面积为 6.25 平方米。