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题目链接：70. 爬楼梯

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

文章讲解：代码随想录

视频讲解：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

题解1：动态规划

思路：1个台阶有1种走法，2个台阶有2种走法（1+1和2）。3个台阶可以看成在1个台阶的走法上再走2步，或者在2个台阶的走法上再走1步；4个台阶可以看成在3个台阶的走法上再走2步，或者在2个台阶的走法上再走1步。即 n 个台阶的走法可以看成在 n - 2个台阶的走法上再走2步，或者在 n - 1个台阶的走法上再走1步。因此可以用动态规划求解。

动态规划分析：

• dp 数组以及下标的含义：dp[i] 为 i 个台阶的走法。
• 递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]。
• dp 数组初始化：dp[0] 没有意义，dp[1] = 1，dp[2] = 2。
• 遍历顺序：从前向后。
• 打印 dp 数组：1、2、3、5、......

/*** @param {number} n* @return {number}*/
var climbStairs = function(n) {const dp = new Array(n + 1);dp[1] = 1; // 1个台阶有1种走法dp[2] = 2; // 2个台阶有2种走法for (let i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // i 个台阶有 dp[i - 1] + dp[i - 2] 种走法}return dp[n];
};

分析：时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。

题解2：动态规划优化

思路：i 个台阶的走法依赖于 i - 1 和 i - 2 个台阶的走法，可以用两个变量存储，在循环中更新这2个变量。

/*** @param {number} n* @return {number}*/
var climbStairs = function(n) {if (n <= 2) {return n; // 1个台阶有1种走法，2个台阶有2种走法}let a = 1, b = 2; // a 为 i - 2个台阶的走法，b 为 i - 1 个台阶的走法for (let i = 3; i <= n; i++) {const c = a + b; // i 个台阶有 dp[i - 1] + dp[i - 2] 种走法a = b; // 更新 ab= c; // 更新 b}return b; // b 即为最终答案
};

分析：时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

收获

当一个问题的答案依赖于较小的问题的答案时，可以使用动态规划法来求解。练习使用动态规划法解决问题，按照5部曲来分析。本题实际上是一个斐波那契数列。